2011级理工科通识教育核心课程《高等数学A (1)》教学
指导性意见（96+16课时）
使用教材：黄立宏、马柏林主编：大学数学1，第二版，高等教育出版社，2008.06
教学指导性意见提出教学的基本内容和教学要求，是教学和考试的依据。学时的分配可参考公共数学系提出的教学日历。
教学要求的程度，对于概念和理论方面，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述，对于方法、运算和能力方面，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。
一、函数（第一章）
（与中学的内容相衔接，以复习为主。）
1．理解函数的概念，了解反函数和复合函数的概念。
2．了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。
二、函数的极限（第二章）
1．了解数列极限和函数极限的概念（对于给出求N或可不作高的要求），在后面内容的教学中逐步使学生加深对极限思想的理解。
2．掌握函数极限存在与左右极限之间的关系，了解函数极限的性质，了解极限存在的两个准则：夹逼准则和单调有界准则（第一节的定义5“子列”、定理5“收敛数列与其子列收敛的关系”、定理7“柯西收敛准则”、第五节第二目和第三目可略去）。
3．掌握极限的四项运算法则，会用两个重要极限（，）求极限。
4．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量阶的比较，会用等价无穷小量求极限。
三、函数的连续性（第三章）
1．理解函数连续性的概念，会判断间断点的类型。
2．了解初等函数的连续性，知道闭区间上连续函数的性质：最大值最小值定理、零点定理、介值定理（第二节第四目“函数的一致连续性”可略去）。
四、一元函数的导数与微分（第四章）
1．理解导数的概念，了解导数的几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系，能用导数描述一些实际问题的变化率。
2．熟练掌握导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，知道反函数的求导法则，了解高阶导数的概念，能熟练计算初等函数的一、二阶导数，知道函数的和及乘积的n阶导数公式，会求简单函数的n阶导数。
3．掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一、二阶导数的计算。
4．理解微分的概念，理解微分近似代替增量的思想，知道微分的几何意义，了解微分与导数的关系（第四节第五目“高阶微分”可略去）。
5．熟练掌握微分的基本公式和微分的运算法则（包括微分形式不变性）。
6．理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)定理，会应用罗尔定理和拉格朗日中值定理。
7．能熟练掌握洛必达(L’Hospital)法则求等类型不定式的极限。
五、一元函数导数的应用（第五章）
1．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、判断函数单调性和凸性、求曲线拐点等方法。
2．会求曲线的渐近线，能描绘函数的图形，会解较简单的最大值最小值应用问题和相关变化率的问题(第二节定理4“高阶导数判断极值点”可略)。
3．了解弧微分的概念，知道曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。
六、一元函数的积分学（第六章）
1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念，了解不定积分和定积分的性质。
2．熟练掌握不定积分基本公式，熟练掌握不定积分与定积分的换元法和分部积分法，掌握较简单的有理函数的部分分式分解，掌握积分表的使用。
3．理解变上限积分函数的概念，掌握变上限积分函数的求导，了解变上限积分函数与原函数的关系，熟练掌握牛顿(Newton)—莱布尼兹(Leibniz)公式。
4．了解反常积分的概念，知道G函数(第五节第四目“反常积分的收敛原理”，第五目“反常积分的柯西主值”可略去)。
七、定积分的应用（第七章）
1．理解定积分微元法的思想。
2．掌握用定积分表达和计算一些常见几何量和物理量（如平面图形的面积、平面曲线的长度、平行截面为已知的立体体积、旋转体的体积、变力作的功、液体的静压力等）的方法（第五节第三、四目可略去）。
八、无穷级数（第八章）
1．理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握无穷级数收敛的必要条件和基本性质。
2．掌握几何级数、调和级数和P级数的敛散性。
3．掌握正项级数的比较判别法，熟练掌握正项级数的比值判别法和根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
5．了解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。
6．了解函数项级数收敛域与和函数概念，理解幂级数收敛半径的概念，并熟练掌握较简单的幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
7．知道幂级数在其收敛区间内的代数运算性质，了解幂级数在其收敛区间内的解析性质，会求一些幂级数的和函数。
8．知道函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
9．掌握 的麦克劳林(Maclaurin)级数展开式，并能利用它们将一些简单的函数间接展开为幂级数。
10．知道函数展开为傅里叶（Fourier）级数的充分条件。能将周期函数及定义在和上的非周期函数展开为傅里叶级数，能将定义在和上的函数展开为正弦或余弦级数。会写出傅里叶级数和的表达式。
九、常微分方程（第九章）
1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；掌握解齐次方程、伯努利方程，掌握用简单的变量代换解某些微分方程。
3．会用降阶法解下列方程：，和
4．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；知道微分方程的幂级数解法。
5．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二级常系数非齐次线性微分方程的解法。
6．会解欧拉方程。
7．会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组；会用微分方程（或方程组）解决一些简单的应用问题。
数学与计量经济学院高等数学研究所
2011-09-03
| 
